Задача 1:

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +  …  + a_nxⁿ – многочлен с комплексными коэффициентами.  α ₁,  α ₂,…,  α _n – корни P(x), притом | α ₁| > 1, | α ₂| > 1,…, | α _j| > 1 и | α _j + 1| ≤ 1,…, | α _n| ≤ 1. Докажите, что

Задача 2:

Из последовательности из 8 целых чисел x₁, … ,x₈ разрешается получить послежовательность |x₂ – x₁|, |x₃ – x₂|,…, |x₈ – x₇|, |x₁ – x₈|. Найдите все целочисленные последовательности из которых за конечное число таких операций можно получить 8 равных чисел.

Задача 3:

В компании из n человек каждый знаком ровно с 8 другими, притом, у любых двух знакомых есть 4 общих знакомых, а у любых двух не знакомых  – 2 общих знакомых. Найдите все возможные значения n.

Задача 4:

Докажите, что для любых n различных целых чисел m₁, m₂,…, m_n существует неприводимый многочлен n-й степени с целыми коэффициентами f(x) такой, что f(m_i) =  – 1.

Задача 5:

Из точки P на описанной около треугольника ABC окружности опустили перпендикуляры на прямые, содержащие стороны треугольника. Основания перпендикуляров лежат на одной прямой. Докажите, что эта прямая проходит через середину отрезка PH, где H – ортоцентр треугольника ABC.

Задача 6:

a, b, c, d – целые числа, притом (a,b) = 1 и (c,d) = 1. Пусть ad – bc = k > 0. Докажите, что существует ровно k различных пар вещественных чисел (x₁,x₂) таких, что 0 ≤ x₁,x₂ < 1, а числа ax₁ + bx₂ и cx₁ + dx₂ – целые.

В