Задача 1:

p₁,p₂,p₃, …  – последовательность всех простых чисел, выписанных в порядке возрастания, x₀ – вещественное число между 0 и 1. Для натурального k определим

где x обозначает дробную часть числа x. Найдите все x₀ такие, что последовательность x₀,x₁, …  становится равной нулю начиная с некоторого места.

Задача 2:

На сторонах треугольника ABC внешним образом построили равнобедренные треугольники BCD,CAE,ABF, при этом стороны исходного треугольника послужили основаниями для построенных. Докажите что прямые, проходящие через точки A,B,C перпендикулярные прямым EF,FD,DE соответственно, пересекаются в одной точке.

Задача 3:

Докажите, что для любого целого числа n существует единственный многочлен Q с коэффициентами из множества 0,1, … ,9 такой, что Q( – 2) = Q( – 5) = n.

Задача 4:

Урезанием выпуклого n-угольника назовем выбор некоторой пары соседних сторон AB и BC, и отрезание треугольника MBN, где M – середина AB, а N – середина BC, в результате получается выпуклый (n + 1)-угольник. Правильный шестиугольник урезали до семиугольника , его, в свою очередь до восьмиугольника (каким-то из семи возможных способов)б и так далее. Докажите, что вне зависимости от урезаний площадь всегда больше 1/3.

Задача 5:

Докажите, что для любых положительных вещественных a,b,c

(a³ + b³ + abc) ^– 1 + (b³ + c³ + abc) ^– 1 + (c³ + a³ + abc) ^– 1 ≤ (abc) ^– 1.

Задача 6:

a₁,a₂, … ,a₁₉₉₇ – последовательность неотрицательных целых чисел удовлетворяющая для всех i,j ≥ 1, i + j ≤ 1997 следующему условию:

a_i + a_j ≤ a_i + j ≤ a_i + a_j + 1. Докажите, что существует вещественное число x такое, что a_n = [nx] (целая часть числа nx).