Задача 1:

Каждый из 8 ящиков содержит 6 шаров. Каждый шар окрашивается в один из n цветов так, что ни в одном из ящиков нет шаров одного цвета и никакие два цвета не встречаются вместе более, чем в одном ящике. Найти наименьшее n, для которого это возможно.

Задача 2:

В треугольник ABC вписана окружность. Пусть D₁ и E₁ — точки касания окружности со сторонами BC и AC соответственно Пусть D₂ и E₂ — точки на сторонах BC и AC соответственно такие, что CD₂ = BD₁ и CE₂ = AE₁. Пусть P есть точка пересечения AD₂ и BE₂. Окружность пересекает отрезок AD₂ в двух точках. Обозначим через Q ту из них, которая ближе к A. Доказать, что AQ = PD₂.

Задача 3:

Для неотрицательных вещественных чисел a,b,c, связанных равенством a² + b² + c² + abc = 4, доказать неравенство 0 ≤ ab + bc + ca – abc ≤ 2.

Задача 4:

В плоскости треугольника ABC взята точка P так, что PA,PB, и PC являются длинами сторон тупоугольного треугольника со стороной PA, противолежащей тупому углу. Доказать, что угол BAC острый.

Задача 5: Пусть S есть некоторое множество целых чисел (не обязательно положительных) такое, что

(A) существуют взаимно простые числа a и b в S, для которых a – 2 и b – 2 также являются взаимно простыми;

(B) если x и y — элементы из S (возможно, равные), то x² – y также принадлежит S.

Доказать, что S есть множество всех целых чисел.

Задача 6:

Каждой точке плоскости сопоставлено вещественное число так, что выполнено следующее свойство: для всякого треугольника число, сопоставленное центру вписанной в него окружности, совпадает со средним арифметическим чисел, сопоставленных его вершинам. Доказать, что всем точкам плоскости сопоставлено одно и то же число.