Задача 1: Расставьте в клетках таблицы 4 × 4 натуральные числа так, чтобы сумма произведений чисел по строкам делилась на 5 [7], а сумма произведений чисел по столбцам не делилась на 5 [7].

Примечание: «Сумма произведений чисел по строкам» получается так: в каждой строке все числа перемножаются и четыре полученных произведения складываются; другая сумма получается аналогично.

(Д.~Карпов)

Задача 2: В лесу, состоящем из дубов и елок, компания «Пень-Инвест» вырубила одну треть всех дубов и одну шестую всех елок [соотв. 1/12 и 1/4]. Докажите, что отчет экологической организации «Зеленый мститель», утверждающий, что была вырублена половина [треть] всех деревьев, содержит неверные данные.

(Жюри)

Задача 3: Пятизначное число A записывается только двойками и тройками, а пятизначное число B – только тройками и четверками. Может ли произведение AB записываться одними двойками? Не забудьте обосновать свой ответ.

[Пятизначное число A записывается только единицами и двойками, пятизначное число B – только двойками и тройками. Может ли AB записываться одними шестерками?]

(С.~Берлов)

Задача 4: Натуральное число можно умножать на два и произвольным образом переставлять в нем цифры (запрещается лишь ставить ноль на первое место). Докажите, что превратить число 1 в число 74 [78] с помощью таких операций невозможно.

(А.~Голованов)