Задача 1:

Числа a, b, c удовлетворяют неравенству  max (a,b) +  max (c,1997) =  min (a,c) +  min (b,1998)\,. Докажите, что b ≥ c.

(А.~Храбров)

Задача 2:

O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая BO вторично пересекает описанную окружность в точке D, а продолжение высоты, опущенной из вершины A, пересекает окружность в точке E. Докажите, что площадь четырехугольника BECD равна площади треугольника ABC.

(М.~Пратусевич)

Задача 3:

Город расположен на нескольких островах, соединенных между собой мостами. При поездках по городу жители выражают длину своего пути числом мостов, которые им приходится переезжать. После того как один из мостов закрыли на ремонт, каждый горожанин заявил: «У меня есть друг, кратчайший путь к которому содержит теперь на один мост больше, чем раньше». Докажите, что хотя бы один из островов – необитаемый.

(Ф.~Назаров)

Задача 4:

Задача 5:

Задача 6:

999 непересекающихся отрезков с концами в вершинах правильного 1998-угольника разбивают эти вершины на пары. Докажите, что на отрезках можно так расставить стрелки, что сумма полученных векторов будет равна нулю.

(С.Берлов)

Задача 7:

С последовательностью чисел (a₁,\,a₂,\, … \,,\,a_n) разрешается делать следующее: выбрать произвольный номер k, 1 ≤ k ≤ n, и заменить в последовательности число a_k на  – (a₁ + a₂ +  …  + a_n) – k. Сколько различных последовательностей можно получить такими преобразованиями из последовательности (0,0, … ,0)?

(М.~Всемирнов)