Задача 1:

Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?

(А.~Голованов)

Задача 2:

Можно ли расставить в клетках шахматной доски 8 × 8 натуральные числа так, чтобы любые два числа, стоящие в соседних (по стороне) клетках, отличались на 1, а любые два числа, стоящие в клетках, связанных ходом коня, отличались на 3?

(А.~Голованов)

Задача 3:

Двоечник Федя выставляет (по одной) шашки на клетки доски 10 × 10 для стоклеточных шашек. Докажите, что в какой-то момент одна из шашек сможет съесть другую шашку.

(Ф.~Бахарев)

Задача 4:

На доске написано 10 двоек. Разрешается стереть любые два числа и записать на доску их сумму или их произведение. Может ли после нескольких таких операций на доске остаться число 1002?

(О.~Малёва)

Задача 5:

Пятизначное число называется неразложимым /, если оно не раскладывается в произведение двух трехзначных чисел. Какое наибольшее число неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?

(С.Берлов)

Задача 6:

Малыш и Карлсон играют в такую игру: они берут шоколадку 1001 × 1001 и по очереди выкусывают из нее «по клеточкам» кусочки (не обязательно с краю): Карлсон — 2 × 2, Малыш — 1 × 1. Если не осталось ни одного кусочка 2 × 2, то все остальные кусочки достаются Малышу. Выигрывает тот, кто съест больше шоколада. Первый ход делает Малыш. Кто выиграет при правильной игре?

(С.Берлов)