Задача 1:

В троллейбусе едут 175 пассажиров и два кондуктора. Каждый пассажир покупает билет только после того, как его три раза об этом попросят. Сначала первый кондуктор просит приобрести билет одного из еще безбилетных пассажиров, потом то же самое делает второй, и так далее до тех пор, пока все не купят билеты. Продажу какого наибольшего количества билетов может обеспечить себе первый кондуктор?

(Ф.~Назаров)

Задача 2:

На каждом из 10 листов бумаги написано несколько степеней двойки. Суммы чисел на всех листах одинаковы. Докажите, что какая-то из степеней двойки встречается на этих листах не менее 6 раз.

(С.~Иванов)

Задача 3:

В стране 1998 городов, любые два города соединены авиалинией. Цены билетов на всех авиалиниях различны. Могут ли все круговые маршруты (проходящие через каждый город по одному разу и возвращающиеся в исходный пункт) иметь одинаковую стоимость?

(К.~Кохась)

Задача 4:

На отрезке AC как на основании в разных полуплоскостях построены равнобедренные треугольники ABC и ADC, причем  ∠ ADC = 3 ∠ ACB. AE – биссектриса треугольника ABC, отрезки DE и AC пересекаются в точке F. Докажите, что треугольник CEF – равнобедренный.

(С.~Иванов)

Задача 5:

Докажите, что для всякого натурального n > 1 между числами n² и (n + 1)² можно выбрать три различных натуральных числа a, b и c так, что a² + b² делится на c.

(С.Берлов)

Задача 6:

Задача 7:

Задача 8:

На окружности отмечены 999 точек. Сколькими способами можно расставить в этих точках буквы Д, В и К так, чтобы на любой дуге между любыми двумя одинаковыми буквами стояло четное число отличных от них?

(Д.~Карпов)