Задача 1:

Положительное число x удовлетворяет нера-вен-ству

Докажите, что x > 1001.998. Как обычно, [x] обозначает целую часть числа x, x = x – [x] обозначает дробную часть x.

(А.~Храбров)

Задача 2:

Арифметическая прогрессия состоит из натуральных чисел и содержит бесконечно много чисел вида (2n)!. Докажите, что первый член прогрессии делится на ее разность. Выражение n! обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

(А.~Голованов)

Задача 3:

Докажите, что в любом тридцатипятизначном числе без нулей и пятерок в десятичной записи можно вычеркнуть несколько цифр так, чтобы полученное в результате этого число делилось на 41.

(Жюри)

Задача 4:

Костя взял многочлен f(x) с вещественными коэффициентами и стал решать уравнение f(x) = 10. У этого уравнения оказалось 10 различных вещественных корней. А у уравнения f(x) = 15 оказалось 15 различных вещественных корней. Докажите, что среди 25 найденных Костей чисел хотя бы одно удовлетворяет уравнению f′(x) = 0.

(К.~Кохась)

Задача 5:

На ребрах AD, BC, CC₁, C₁D₁, A₁B₁, AA₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ выбраны точки P, Q, R, S, T, U соответственно. Оказалось, что при этом

Найдите длину замкнутой ломаной PQRSTUP, если длина ребра куба равна 1.

(М.~Гусаров)