Задача 1:

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что BL = AB. На продолжении BL за точку L выбрана точка K так, что  ∠ BAK +  ∠ BAL = 180. Докажите, что BK = BC.

(Ф.~Бахарев)

Задача 2:

Задача 3:

Аня, Ваня и Саня рисовали чертиков на чистых тетрадных листочках. Экономная Аня нарисовала больше чертиков, чем Ваня и Саня вместе, и израсходовала на это меньше всех листочков, а расточительный Ваня нарисовал меньше всех чертиков, но извел больше листочков, чем Аня вместе с Саней. Больше пяти чёртиков на листочек не влезает. Докажите, что Аня изрисовала не меньше шести листочков.

(Р.~Семизаров)

Задача 4:

Можно ли клетки квадрата 100 × 100 раскрасить в 4 цвета так, чтобы в любом прямоугольнике 1 × 3 было не менее одной красной клетки, в любом квадрате 2 × 2 было не менее одной синей клетки, в любом прямоугольнике 1 × 4 было не менее одной желтой клетки и, наконец, в любом прямоугольнике 2 × 3 было не менее одной зеленой клетки?

(К.~Кохась)

Задача 5:

Задача 6:

Перед Димой и Сашей лежит по кучке монет. Они играют в следующую игру. За один ход можно взять из любой кучки любое число монет, равное делителю числа монет в этой кучке, и переложить их в другую кучку. (В частности, можно переложить всю кучку целиком в другую кучку. При этом считается, что количество монет в «кучке», в которой не осталось монет, равно нулю.) Проигрывает тот, после чьего хода количество монет в кучке, лежащей перед Димой, станет таким, каким оно уже было когда-нибудь на протяжении игры (в том числе, в самом начале). Первым ходит Дима. Изначально в обеих кучках по 1999 монет. Кто выиграет при правильной игре?

(Д.~Ростовский)

Задача 7:

В Конторе работают 200 психически здоровых и 1999 сумасшедших сотрудников. Однажды каждый сотрудник направил директору сообщение, в котором перечислил 1999 своих коллег, которые, по его мнению, сошли с ума. Известно, что каждый психически здоровый сотрудник верно указал всех сумасшедших, а сумасшедшие сотрудники могли назвать кого угодно, кроме себя. Докажите, что директор может на основании только этих данных выявить по крайней мере 199 сумасшедших. Все сообщения подпи-саны.

(Ю.\,Лифшиц)