Задача 1:

Под куполом цирка летают красные, синие и зеленые воздушные шары — по 150 каждого цвета. Внутри каждого синего шара находится ровно 13 зеленых, внутри каждого красного — ровно 5 синих и ровно 19 зеленых. Докажите, что какой-то зеленый шарик не содержится ни в одном из 449 остальных шаров.

(С.~Иванов)

Задача 2:

Задача 3:

(a_n) — арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, p_n — наибольший простой делитель a_n при каждом натуральном n. Докажите, что последовательность неограничена.

(А.~Голованов)

Задача 4:

На 50 карточках с двух сторон написаны (по разу) все натуральные числа от 1 до 100. Карточки выложены на стол так, что видны только числа, написанные сверху. Вася может выбрать несколько карточек и одновременно перевернуть их, а затем сложить все 50 чисел, которые окажутся после этого наверху. Каково наибольшее S, для которого Вася может наверняка получить сумму, не меньшую S?

(С.Берлов)

Задача 5:

Два человека играют в следующую игру. Они по очереди выписывают на доску делители числа 100!, (кроме 1, без повторений). Проигрывает тот из игроков, после чьего хода написанные на доске числа будут взаимно просты в совокупности. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его противник?

(Д.~Карпов)

Задача 6:

Задача 7:

В связном графе G 500 вершин, степень каждой вершины не превосходит 3. Назовем раскраску вершин в черный и белый цвета интересной/, если белым цветом окрашено более половины вершин, но никакие две белые вершины не соединены ребром. Докажите, что можно выбрать несколько вершин G так, чтобы в любой интересной раскраске больше половины из них были бы окрашены в черный цвет.

(Д.~Карпов)

Задача 8:

Три фокусника показывают фокус. Они дают зрителю колоду карточек с числами от 1 до 2n + 1 (n > 6). Зритель берет себе одну карточку, а остальные раздает поровну (произвольным образом) первому и второму фокусникам. Фокусники, не общаясь, изучают каждый свои n карт, отбирают из них по 2 карты, и, сложив их в (упорядоченную) стопочку, передают третьему фокуснику. Третий фокусник просматривает полученные 4 карты и сообщает, какая карта у зрителя. Объясните, каким образом может быть показан такой фокус.

(К. Кохась)