Задача 1:

Про вещественные числа x₀, x₁, …, x_n известно, что x₀ > x₁ >  …  > x_n. Докажите неравенство

(А.~Голованов)

Задача 2:

У квадратного трехчлена f(x) = x² + ax + b с целыми коэффициентами значение в 0 по модулю не превосходит 800. Также известно, что f(120) — простое число. Докажите, что у него нет целых корней.

(А.~Храбров)

Задача 3:

Для каких n ≥ 3 можно расставить числа от 1 до n в вершинах правильного n-угольника так, чтобы выполнялось следующее свойство: для любых трех вершин A, B и C таких, что AB = AC, число в вершине A либо больше, либо меньше обоих чисел в вершинах B и C?

(С.~Иванов)

Задача 4:

На сторонах BC, AC и AB равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) выбраны точки A₁, B₁ и C₁. Известно, что  ∠ BC₁A₁ =  ∠ CA₁B₁ =  ∠ A. P — точка пересечения отрезков BB₁ и CC₁. Докажите, что четырехугольник AB₁PC₁ — вписанный.

(С.Берлов)

Задача 5:

Найдите множество значений выражения

при натуральных x, y и z. (Через s обозначена дробная часть s.)

(А.~Храбров)

Задача 6:

AL — биссектриса треугольника ABC. Через вершины B и C проведены параллельные прямые b и c, равноудаленные от вершины A. На прямых b и c выбраны точки M и N такие, что отрезки LM и LN пересекаются со сторонами AB и AC соответственно и делятся ими пополам. Докажите, что LM = LN.

(Ф.~Бахарев, С.~Берлов)

Задача 7:

Докажите, что число способов разрезать прямоугольник 998 × 999 на уголки (фигурки вида не превосходит числа способов разрезать прямоугольник 1998 × 2000 на уголки так, что никакие два уголка не образуют прямоугольника 2 × 3.

(Ю.~Белов, А.~Железняк)

Задача 8:

Выпуклый n-угольник (n > 3) разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что можно отметить n – 1 отрезков из числа проведенных диагоналей и сторон многоугольника так, что никакой набор отмеченных отрезков не образует замкнутую ломаную, и ни из какой вершины не выходит ровно два отмеченных отрезка.

(Д.~Карпов)