Задача 1:

Дано несколько квадратных трехчленов с единичными старшими коэффициентами и одинаковыми дискриминантами. Сумма любых двух из этих трехчленов имеет два корня. Докажите, что и сумма всех трехчленов имеет два корня.

(С.~Берлов, С.~Иванов)

Задача 2:

S₁ и S₂ — две окружности, не имеющие общих точек. Общая касательная (внешняя) касается их в точках A и B. Окружность S₃ проходит через A и B и вторично пересекает S₁ и S₂ в точках C и D соответственно. K — точка пересечения прямых, касающихся S₁ и S₂ в точках C и D. Докажите, что KC = KD.

Задача 3:

a и b — различные натуральные числа, большие 1, и a² + b – 1 делится на b² + a – 1. Докажите, что число b² + a – 1 имеет хотя бы два различных простых делителя.

(С.~Берлов)

Задача 4:

На клетчатой плоскости лежит 111 не перекрывающихся друг с другом трехклеточных уголков. При этом выполняется такое свойство: для любого из уголков содержащий его квадрат 2 × 2 целиком покрыт уголками. Докажите, что можно убрать один или несколько уголков (но не все) так, чтобы это свойство сохранилось.

(А.~Железняк, Ю. Белов)

Задача 5:

Имеется 20 различных натуральных чисел, множество попарных сумм которых (включая суммы каждого числа с самим собой) содержит ровно 201 элемент. Из какого наименьшего количества элементов может состоять множество (положительных) попарных разностей этих чисел?

(С.Иванов)

Задача 6:

ABCD — равнобочная трапеция с основаниями AD и BC. Некоторая окружность касается отрезков AB и AC и пересекает отрезок BC в точках M и N. Точки X и Y — ближайшие к D точки пересечения вписанной окружности треугольника BCD с прямыми DM и DN соответственно. Докажите, что прямая XY параллельна AD.

(С.~Берлов)

Задача 7:

В каждой клетке шахматной доски написано положительное число так, что в каждой горизонтали сумма чисел равна 1. Известно, что при любой расстановке восьми не бьющих друг друга ладей на доске произведение чисел под ними не больше произведения чисел на главной диагонали. Докажите, что сумма чисел на главной диагонали не меньше 1.

(Ф.Петров)

Задача 8:

Можно ли выбрать несколько точек в пространстве и соединить некоторые пары точек отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно три отрезка, а любая замкнутая ломаная, составленная из разных отрезков, имела не меньше 30 звеньев?

(С.Иванов)