Задача 1:

Квадратные трехчлены f и g с целыми коэффициентами принимают только положительные значения и при всех вещественных x. Докажите, что при всех вещественных x.

(А.Храбров)

Задача 2:

Компьютер «Intel Пень-V» умеет выполнять с числом только одну операцию: он прибавляет к нему 1, а затем в полученном числе переставляет все нули в конец, а остальные цифры — как угодно (например, из числа 1004 он может получить 1500 или 5100). В компьютер ввели число 12345, и после выполнени 400 операций на экране оказалось число 100000. Сколько раз за это врем на экране компьютера появлялось число, оканчивающееся на ноль?

Задача 3:

Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC, точка D — середина стороны AB. Известно, что угол AOD — прямой. Докажите равенство AB + BC = 3AC.

(С.Иванов)

Задача 4:

Из таблицы 20 × 20 вырезали прямоугольники 1 × 20, 1 × 19, …, 1 × 1. Докажите, что из оставшейся части таблицы можно вырезать еще 36 прямоугольников 1 × 2.

(С.Берлов)

Задача 5:

На биссектрисе AL треугольника ABC выбрана точка K, причем  ∠ BKL =  ∠ KBL = 30. Прямые AB и CK пересекаютс в точке M, а прямые AC и BK — в точке N. Найдите угол AMN.

(Д.Ширяев, С.Берлов)

Задача 6:

Для любых натуральных чисел n > m докажите неравенство

где [x,y] — наименьшее общее кратное чисел x и y.

(А.Голованов)

Задача 7:

В парламенте страны Альтернативии для любых двух депутатов найдется третий, знакомый ровно с одним из них. Каждый депутат состоит в одной из двух правящих партий. Ежедневно президент приказывает некоторой группе депутатов перейти в другую партию, при этом все депутаты, знакомые хотя бы с одним из депутатов группы, тоже меняют свою партийную принадлежность. Докажите, что президент может добиться того, чтобы все без исключения депутаты Альтернативии перешли в ту партию, которую поддерживает он сам. (Президент не является членом парламента).