Задача 1: f(x) и g(x) — квадратные трехчлены, старшие коэффициенты
которых равны единице. Известно, что трехчлен f(x) + g(x) имеет
два различных корня,
и каждый из этих корней является также корнем уравнения g(x) – f(x)5 = 0.
Докажите, что трехчлены f(x) и g(x) равны.
Задача 2: По кругу расставлены 100 положительных чисел (не обязательно целых).
Сумма любых 45 чисел, стоящих подряд, равна 250.
Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.
Задача 3: Федя и Наташа стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по
прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Наташа бежит.
Пробежав 200 своих шагов, Наташа поворачивает обратно. В этот момент Федя
начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Наташей 50 (своих)
шагов. Докажите, что шаги идущего Феди короче шагов бегущей Наташи.
Задача 4: Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный
перпендикуляр стороны AB в точке X, серединный перпендикуляр
стороны AC — в точке Y, а описанную окружность треугольника —
в точке Z. Точки A, X, Y, Z лежат на биссектрисе в порядке
перечисления. Докажите, что AY = ZX.
Задача 5: Можно ли бумажный прямоугольник размера 101 × 45 разрезать
«по клеточкам» на несколько прямоугольников, каждый из которых имеет
размеры 7 × 9, 7 × 18 или 9 × 18?
