Задача 1:

В клетках прямоугольной таблицы 9 × 11 стоят ненулевые цифры. В каждой строчке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлено многозначное число. Может ли оказаться, что из получившихся 20 чисел ровно одно не делится на 3?

Задача 2:

По кругу расставлены 100 положительных чисел (не обязательно целых). Сумма любых 45 чисел, стоящих подряд, равна 250. Докажите, что все расставленные числа не превосходят 30.

Задача 3:

Дан остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). E — точка пересечения перпендикуляра к стороне AB, восставленного в точке B, и прямой AC. D — точка пересечения перпендикуляра к стороне BC, восставленного в точке C, и прямой AB. На перпендикуляре к основанию AC, восставленном в точке A, отметили точку F так, что AF = CD. Докажите, что DE = EF.

Задача 4:

Решите систему уравнений в вещественных числах

Задача 5:

Федя и Кристина стартуют с одного и того же места и равномерно движутся по прямой линии в одном направлении. Федя спокойно идет, а Кристина бежит. Пробежав 500 своих шагов, Кристина поворачивает обратно. В этот момент Федя начинает считать свои шаги и насчитывает до встречи с Кристиной 100 (своих) шага. Чьи шаги длиннее: идущего Феди или бегущей Кристины?

(Ф.Назаров)