Задача 1: а) На доске нарисовали прямоугольную таблицу, и в каждой ее клетке поставили знак « + » или знак « – ».

б) Могут ли в такой таблице, с какой стороны ни посмотри, ряды, где стоит 4 « + » и 0 « – », идти через один с рядами, где стоит 3 « + » и 1 « – »?

в) Каких размеров может быть таблица, если, с какой стороны ни посмотри, ряды, в которых стоит 4 « + », и ряды, где стоит 3 « + », чередуются? (Минусов может быть произвольное количество.)

г) Могут ли в таблице 1001 × 1001, с какой стороны ни посмотри, ряды, в которых стоит 4 « + », идти через один с рядами, где стоит 3 « – »?

Задача 2:

На лист бумаги положили картонный квадрат. Хулиган проткнул квадрат иголкой (прикрепив его к бумаге). После этого повернул квадрат вокруг иглы, нарисовав на бумаге путь каждой из вершин квадрата, а затем сам квадрат выкинул.

Примечание: Если взять за вершину точку на одной окружности, и повернуть относительно неё на 90 окружность, получающуюся из соседней вершины, то точка пересечения получившейся окружности с другой «соседней» окружностью (получившейся из второй соседней вершины) будет как раз другой вершиной соответствующего квадрата.

а) Сколько окружностей может быть нарисовано?

б) Верно ли, что можно по картинке восстановить, какие две из четырех окружностей соответствуют вершинам квадрата, расположенным по диагонали?

в) Из четырех окружностей стерли одну. Какое максимальное количество вариантов дорисовать четвертую окружность, чтобы получившиеся окружности могли получиться вращением вершин квадрата?

г) Сколько различных квадратов (не получающихся друг из друга поворотом относительно центра окружностей) могли дать в результате вращения данные окружности?

Задача 3: На складе, где есть n мест для ящиков, установили робота. Для того чтобы робот работал (а он приспособлен только для перестановки ящиков), ему должны составить программу – последовательность команд. Каждая команда соответствует определённому способу переставлять ящики (например: переставить ящик с места 1 на место n, с места 2 на место (n – 1), …, с места n на место 1 – то есть «расставить в обратном порядке».) Не важно, сколько в программе команд, но необходимо, чтобы для любого желаемого порядка ящиков можно было составить программу.

а) На одном складе только 5 ящиков, а у робота — 4 команды, переставляющие первый ящик с всевозможными остальными. Достаточно ли этих команд?

б) Для каких значений n существует удовлетворяющий условиям набор из всего одной команды? (Любая программа тогда – эта команда, повторённая несколько раз.)

в) При каких n существует удовлетворяющий условиям набор из всего двух различных команд? (На количество переставляемых одной командой ящиков ограничений нет.)

г) Оказалось, что некий набор различных команд удовлетворяет условиям, то есть можно составить программу для любой перестановки n ящиков, используя только эти команды. При этом каждая команда переставляет только два ящика. Какое наименьшее количество команд может быть в наборе?