Задача 1: Действительные числа a, b, c, x, y, z удовлетворяют неравенствам: a² + b² + c² ≤ 6 и x² + y² + z² ≤ 24. Докажите, что

a) ax + by + cz ≤ 15

b) ax + by + cz ≤ 12.

Задача 2: На плоскости задано 2N точек. Два игрока играют в следующую игру: каждый из них в свою очередь хода выбирает точку из числа еще не выбранных. После того, как все точки разобраны, каждый из игроков подсчитывает сумму попарных расстояний между N выбранными им точками. Побеждает тот игрок, у которого эта сумма меньше. Докажите, что при правильной игре начинающий не проиграет.

Задача 3: Kаждая сторона треугольника разделена на 3 равные части, и проведены прямые, как указано на рисунке. Во сколько раз площадь заштрихованного треугольника меньше площади исходного?

Задача 4: Вася выписывает в тетрадку натуральные числа N₁, N₂,  … ,  N_k, N_k + 1,  …  по следующему правилу: N₁ выбирается произвольно, а N_i + 1 равно увеличенному на 3000 остатку от деления числа на 1996. Докажите, что всегда найдется бесконечное множество равных между собой чисел номера которых образуют возрастающую арифметическую прогрессию.