Задача 1:

Определённая на всей числовой прямой функция f(x) такова, что выполнено тождество:

Какое наименьшее количество корней может иметь уравнение f(x) = 1?

Задача 2:

Рассматриваются все натуральные числа n такие, что числа n + 1 и 2n + 1 – точные квадраты. Найдите наибольший общий делитель всех рассматриваемых чисел.

Задача 3:

Пусть A₁A₂ … A₁₀₅ – правильный 105-угольник, O – центр вписанной в него окружности. Рассматриваются все вектора , где номер вершины n взаимно прост с числом 105 (натуральные числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от 1). Найдите сумму всех рассматриваемых векторов.

((Предложена Стасом Васильевым.))

Задача 4:

Торт имеет форму произвольного треугольника. Двое сластен делят его следующим образом. Первый указывает на торте точку, второй проводит через эту точку прямолинейный разрез и забирает себе большую часть. Какую наибольшую часть торта может обеспечить себе первый сластена? Считается, что торт всюду имеет одинаковую толщину.

((Предложена В.Т.Шевалдиным.))