Задача 1:

Докажите, что для любого натурального числа n справедливо двойное неравенство:

(Предложена С.А.Аникиным.)

Задача 2:

Пусть a₁,a₂, … ,a_n, …  – произвольная последовательность вещественных чисел. Для натурального n обозначим через f_n(x) функцию f_n(x) =  sin (2ⁿx – a_n).

а) Докажите, что для любого натурального k найдётся такое число x, что все числа f₁(x),f₂(x), … ,f_k(x) положительны.

б) верно ли аналогичное утверждение, если вместо f_n(x) рассматривать функции g_n(x) =  sin (nx – a_n)?

(Предложена М.Ф.Прохоровой.)

Задача 3:

По окружности на равном расстоянии друг от друга расставлено 2n корзин с яблоками, причём число яблок в любых двух соседних корзинах отличается ровно на 1. При каких натуральных n можно гарантировать, что найдутся две диаметрально противоположные корзины, содержащие поровну яблок?

(Предложена С.Э.Нохриным.)

Задача 4:

Дан выпуклый четырёхгранный угол. Всегда ли найдётся плоскость, сечение которой данного угла является параллелограммом?

((Предложена В.В.Нагребецким.))