Задача 1:

Из чисел 1,2, … ,100 выбрано 51 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдется два, одно из которых делится на другое. Можно ли уменьшить число выбранных чисел с сохранением указанного свойства?

(Математический фольклор.)

Задача 2:

Пешеход идет со скоростью 5 км/ч по шоссе, по которому в оба направления курсируют рейсовые автобусы, встречающиеся между собой каждые 5 минут. В 10 часов пешеход заметил, что рядом с ним повстречались автобусы, и через 2 часа он был в точке, где также повстречались автобусы. За это время он считал встречные и обгоняющие его автобусы, и оказалось, что встречных было на 4 больше. Определите скорость автобусов.

((Предложена Е.С.Зенковой.))

Задача 3:

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.) У трёх братьев – Андрея, Василия и Сергея – дни рождения совпадают. Когда старшему из них, Андрею, исполнилось 12 лет, то оказалось, что сумма возрастов всех братьев делится на 12. То же случилось, когда 12 лет исполнилось Василию. Докажите, что тоже самое случится, когда 12 лет исполнится Сергею.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)