Задача 1:

Известно, что одно из натуральных чисел x и y чётно, а другое – нечётно. Представить число xy + x в виде разности квадратов двух целых чисел.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Задача 2:

Назовём натуральные числа близкими, если их десятичная запись содержит одно и то же число значащих цифр и отличается ровно в одном разряде на величину, по модулю равную 1.

Докажите, что если трёхзначное число не начинается с 1 и не содержит в своей записи нулей и девяток, то либо оно само, либо одно из близких ему чисел делится на 7.

((Предложена С.Э.Нохриным.))

Задача 3:

На окружности отмечено 1997 точек. Рассматриваются всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Пусть A – одна из отмеченных точек. Каких многоугольников больше – содержащих вершину A или не содержащих её?

((Предложена Е.С.Зенковой.))

Задача 4:

Прямоугольник вписан в квадрат таким образом, что его стороны не параллельны диагоналям квадрата. Докажите, что этот прямоугольник также является квадратом. (Считаем, что прямоугольник вписан в квадрат, если на каждой стороне квадрата лежит вершина прямоугольника.)

((Предложена В.В.Кабановым.))