Задача 1: В прямоугольник вписан четырехугольник (по вершине на каждой стороне).

Доказать, что его периметр не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Задача 2: Пусть положительные числа a,\,b,\,c,\,d удовлетворяют неравенствам: a ≤ b ≤ c ≤ d, и a + b + c + d ≥ 1. Доказать, что a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.

Задача 3: Поле для игры в«морской бой" имеет форму квадрата размером 8 × 8 клеток. На нем стоит один корабль, имеющий форму прямоугольника 1 × 4. В клетках поля можно устанавливать детекторы, показывающие, накрывает ли корабль эту клетку.

Какое наименьшее число клеток нужно снабдить такими детекторами, чтобы по их показаниям можно было однозначно определить положение корабля?

Задача 4: На доске выписаны 17 двузначных чисел. Математик возвел одно из них в сотую степень. Оказалось, что полученное число делится на любое из выписанных.

Докажите, что тогда оно делится и на произведение всех выписанных чисел.