|
Задачная база >> Другие города России >> Екатеринбургские соревнования >> Областная олимпиада >> XXXIX олимпиада, 1998-1999 >> Областной тур >> 10 класс >> 1-й день | Показать решения |
|
XXXIX Екатеринбургская городская олимпиада, 1998-1999. Областной тур. 10 класс. 1-й день |
|
Задача 1: Верно ли, что существует натуральное число M, обладающее свойством: все натуральные числа, большие M, представимы в виде суммы квадрата и куба каких-то двух натуральных чисел?
Задача 2:
Первой точкой Брокара в треугольнике ABC называется такая точка
P, что ∠ PAC = ∠ PCB = ∠ PBA.
Из точки P опущены перпендикуляры и
на стороны BC, CA и AB соответственно. Докажите, что
а) треугольники ∆ ABC и
подобны;
б) коэффициент их подобия равен , где
Задача 3: Числа a, b и c удовлетворяют равенствам: ab + bc + ac = 1999abc, и 1999(a + b + c) = 1. Найти a1999 + b1999 + c1999.
Задача 4:
Пусть a1, a2, … , an — целые числа такие, что все числа
b1, b2, … ,bn (bi равно произведению цифр числа ai)
различны и не равны нулю. Верно ли, что сумма ?
Задачная база >> Другие города России >> Екатеринбургские соревнования >> Областная олимпиада >> XXXIX олимпиада, 1998-1999 >> Областной тур >> 10 класс >> 1-й день | Показать решения |