Задача 1: Натуральное число n является произведением двух различных простых чисел, а сумма всех его делителей, считая 1, но не считая n, равна 1000. Найдите все такие n.

Задача 2: На стороне BC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) взяли точки N и M (N ближе к B, чем M) такие, что NM = AM и угол MAC равен углу BAN. Найдите угол CAN.

Задача 3: Докажите, что при любых отличных от нуля числах a, b и c хотя бы одно из квадратных уравнений ax² + 2bx + c = 0, bx² + 2cx + a = 0 и cx² + 2ax + b = 0 имеет корень.

Задача 4: На главной диагонали шашечной доски 10 × 10 стоит 10 шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь доски?

Задача 5: В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB и CD. На отрезке AB взяли точку M так, что AM = AC, а на отрезке CD - точку N так, что DN = DB. Докажите, что если точки M и N не совпадают, то прямая MN параллельна прямой AD.