Задача 1: Квадрат разрезан на прямоугольники так, что никакая точка квадрата не является вершиной сразу четырех прямоугольников. Доказать, что число точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, четно.

Задача 2: Можно ли к 9999 приписать справа еще 4 цифры так, чтобы полученное восьмизначное число стало квадратом целого числа?

Задача 3: На столе лежит куча из 1001 камня. Из нее выкидывают камень и делят кучу на две. Затем из какой-либо кучи, содержащей более двух камней, снова выкидывают камень и снова делят кучу на две кучки, и т.д. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней?

Задача 4: В четырехугольнике ABCD сумма углов ABD и BDC равна 180 градусов, а AD = BC. Доказать равенство углов BAD и BCD.

Задача 5: В некоторой стране N > 1 городов. Между некоторыми из них проложены дороги. Известно, что если два города не соединены между собой, тогда найдется город, который соединен дорогой с ними обоими. Какое минимальное количество дорог может быть в этой стране?