Задача 1: Можно ли расположить на плоскости 7 точек таким образом, чтобы среди любых трех из них нашлись две, расстояние между которыми было бы равно 1?

Задача 2: Параллелограмм составлен из трех равнобедренных треугольников, среди которых нет равных. Найдите величины его углов.

Задача 3: Для того, чтобы уравнение 1/x – 1/y = 1/n, (n натуральное) имело единственное решение в натуральных числах, необходимо и достаточно, чтобы n было простым числом. Доказать.

Задача 4: За круглым столом сидят 7 дипломатов. Они должны провести по одной беседе друг с другом. Два дипломата будут беседовать только в том случае, если они окажутся рядом. После того, как каждый из дипломатов закончил переговоры со своими соседями, дипломаты встают и занимают новые положения. Можно ли организовать встречу так, чтобы при каждом новом размещении у каждого из них за столом были новые соседи?

Задача 5: Каждую грань кубика разделили на 4 квадратика, и каждый квадратик покрасили в один из трех цветов: синий, желтый или красный таким образом, что любые два соседних (общая сторона) квадратика оказались разного цвета. Доказать, что синих квадратиков не меньше 8.

Задача 6: Бак полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объема, во втором бидоне вода заняла 2/3 его объема, а в третьем – 3/4. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком минимальном объеме бака возможна такая ситуация?

Задача 7: На плоскости лежат четыре точки. Докажите, что найдетс треугольник с вершинами в этих точках, у которого один из углов не больше 45 гр.

Задача 8: Дан прямоугольник 3 × 4, который разделен на три равных вертикальных столбца, покрашенных каждый своим цветом (рис.1). Можно ли разрезать его на четыре части и сложить из них прямоугольник того же размера, цвета в котором располагаются как на рис.2: