Задача 1:

Существуют ли 19 попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр таких, что их сумма равна 1999?

Задача 2:

Во всех рациональных точках вещественной прямой расставлены целые числа. Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Задача 3:

Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD, касается его сторон DA, AB, BC, CD в точках K, L, M, N соответственно. Пусть S₁, S₂, S₃, S₄ – соответственно окружности, вписанные в треугольники AKL, BLM, CMN, DNK. К окружностям S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₄, S₄ и S₁ проведены общие внешние касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD. Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными – ромб.

Задача 4:

Задача 5:

Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся. Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.

Задача 6:

Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т. е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по её разные стороны).

Задача 7:

Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда AB • CD = AC • BD = AD • BC.

Задача 8:

В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?