Задача 1:

Дробная часть квадрата рационального числа r равна 1/4. Докажите, что число 2r – целое.

Задача 2:

Найдите все натуральные n, для которых существуют два подряд идущих натуральных числа, суммы цифр которых делятся на n.

Задача 3:

Если расположить 2000 отрезков в виде 2000-угольника, то их концами будут ровно 2000 точек. А сколько еще разных концов может быть у 2000 различных отрезков? Перечислите все возможности, приведите соответствующие примеры и докажите, что других возможностей нет.

Задача 4:

Прямая касается вписанной окружности равностороннего треугольника ABC и пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Докажите, что

Задача 5:

На клетчатой доске размером 1000 × 1000 стоят красные, синие и зеленые фишки (в каждой клетке – не больше одной фишки). Рядом (в соседних по стороне клетках) с любой красной фишкой стоят 2 синие, а рядом с любой синей – 3 зеленые. Докажите, что есть зеленая фишка, рядом с которой нет красных.

Задача 6:

Внутри данного треугольника ABC выбрана такая точка P, что угол PBC равен углу PCA. Прямая BP пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке E ≠ B. Описанная окружность треугольника APE пересекает продолжение отрезка CE за точку E в точке F. Докажите, что отношение площади треугольника ABP к площади четырехугольника APEF не зависит от выбора точки P.

Задача 7:

Граф G связен. Назовем разрезом минимальное по включению множество вершин, при удалении которых (вместе со всеми выходящими из них ребрами) граф теряет связность. Известно, что при удалении вершин разреза R вершины из разреза S оказываются в одной компоненте связности. Докажите, что при удалении вершин разреза S вершины из разреза R оказываются в одной компоненте связности.

Задача 8:

a₁, …, a_n – положительные числа, меньшие 1. Докажите, что