Задача 1:

Задача 2: Существуют ли такие действительные числа a, b и c (a ≠ 0), что при всех выполнено равенство a sin 2x + b sin x + c =  cos x?

Задача 3:

Задача 4: На клетчатой доске размером 1000 × 1000 стоят красные, синие и зеленые фишки (в каждой клетке – не больше одной фишки). Рядом (в соседних по стороне клетках) с любой красной фишкой стоят 2 синие, а рядом с любой синей – 3 зеленые. Докажите, что есть зеленая фишка, рядом с которой нет красных.

Задача 5:

Задача 6: В тетраэдре ABCD угол BAC равен углу ACD, а угол ABD равен углу BDC. Докажите, что AB = CD.

Задача 7: Пусть для каждого натурального n выражение T(n) обозначает длину периода бесконечной десятичной дроби 1/n. Докажите, что для любого натурального числа a выполнено неравенство .

Задача 8: Связный граф G остается связным при удалении любых 18 вершин (вместе со всеми выходящими из них ребрами). Назовем разрезом любое множество из 19 вершин, при удалении которых граф теряет связность, а куском любую компоненту связности, которая образуется при удалении разреза. Известно, что любой кусок, содержащий менее 10 вершин, не содержится ни в каком разрезе. Докажите, что никакой кусок не содержится внутри разреза.