Задача 1:

Отрезок железной дороги между городами A и K имеет длину 56 км. Поезд делает на нем 9 промежуточных остановок – на станциях B, C, D, E, F, G, H, I и J. Известно, что длина любых двух соседних участков дороги не превосходит 12 км, а длина любых трех подряд идущих участков дороги не меньше 17 км. Найдите расстояние между станциями B и G.

Задача 2:

Докажите, что сумма квадратов всех делителей натурального числа n (включая 1 и n) не может равняться (n + 1)².

Задача 3:

Таблица m × n (m,n ≥ 3) заполнена числами так, что числа в каждом столбце образуют арифметическую прогрессию. Какие-то две строки этой таблицы также являются арифметическими прогрессиями. Докажите, что и в остальных строках таблицы тоже записаны арифметические прогрессии.

Задача 4:

Про натуральные числа x, y и z известно, что (z + 1)x² + x = zy² + y. Докажите, что число y – x является точным квадратом.

Задача 5:

Решите уравнение

Задача 6:

Восемь шахматистов сыграли турнир в один круг. Известно, что в любой тройке шахматистов были двое, сыгравшие между собой вничью. Какое наименьшее число ничьих могло быть в этом турнире?

Задача 7:

В квадрат вписан четырехугольник P (на каждой стороне квадрата по одной вершине четырехугольника), в который в свою очередь вписали квадрат (также на каждой стороне четырехугольника по одной вершине квадрата), причем все 12 вершин этих четырехугольников различны. Могло ли так получиться, что у четырехугольника P все длины сторон попарно различны?

Задача 8:

В вершинах квадрата помещены 4 компьютера, соединенных со своими соседями по сторонам квадрата. В начальный момент на каждый компьютер пришло по важной новости (на каждый – своя). Каждую секунду компьютер может или передавать все известные ему новости на соседний компьютер, или принимать соответствующую информацию с соседнего компьютера, или бездействовать. Каким образом за наименьшее время все компьютеры могут получить все имеющиеся в системе новости?

Задача 9:

Василий Иванович и Петька взяли в плен 999 белогвардейцев и принялись их допрашивать. Известно, что любой белогвардеец «расколется» после 9 заданных вопросов (но не раньше!), а «расколовшего» (то есть задавшего девятый вопрос) его героя гражданской войны наградят орденом. Допрос происходит следующим образом. Сначала Василий Иванович выбирает любого еще «нерасколовшегося» белогвардейца и задает ему вопрос, потом то же самое делает Петька, затем – снова Василий Иванович, и т.д. Какое наибольшее количество орденов может обеспечить себе легендарный комдив вне зависимости от действий Петьки?

Задача 10:

На стороне BC треугольника ABC выбрана такая точка D, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне AB. Докажите, что точка, симметричная D относительно прямой AB, лежит на прямой AC.