Задача 1: В Чебабурге имеют хождение монеты трех видов: 1, 2 и 5 талеров. Масса каждой монеты одного из видов (в унциях) совпадает с ее достоинством (в талерах), масса каждой монеты другого вида в полтора раза больше ее достоинства, а масса каждой монеты третьего вида - в два раза больше. Имеется неограниченный запас монет каждого вида и чашечные весы без гирь. Какое наименьшее количество взвешиваний позволит наверняка определить массу монет каждого достоинства?

(И. Акулич)

Задача 2: В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса AM. Найдите углы треугольника, если известно, что BM = AC. (Д. Калинин)

Задача 3: Решите систему уравнений: x(1 + y^1/2) = y(1 + z^1/2) = z(1 + x^1/2) = 2

Задача 4: Пусть M – конечное подмножество множества целых чисел, причем количество элементов в M кратно четырем, а между любыми двумя числами, не принадлежащими M, расположено четное количество элементов из M. Докажите, что M можно разбить на две части с равным числом элементов и равной суммой.

(С.Волченков)

Задача 5: Клетчатый прямоугольник 2 × 3 сложен из 17 спичек, как показано на рисунке. Какие размеры может иметь клетчатый прямоугольник, составленный из 1000 таких же спичек?

(А. Шаповалов)

Задача 6: На стороне AB равностороннего треугольника ABC, отмечена точка C₁, а на стороне AC – точка B₁ так, что ; M – точка пересечения отрезков BB₁ и CC₁. Найдите угол ANC.

(Д. Калинин)

Задача 7: Можно ли в кубе с ребром 2000 разместить 7 точек так, чтобы расстояние между любыми двумя было бы больше 2001? Точки можно помещать и на поверхности куба.

(С.Волченков)

Задача 8: Целые числа x, y, z таковы, что числа xy + 1, yz + 1 и zx + 1 являются полными квадратами. Докажите, что произведение xyz делится на 8.

(В.Сендеров)