Задача 1:

Восемь футбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой по одному разу). Какое наименьшее число очков гарантирует команде место в четверке лидеров? В современном футболе за победу дают 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.

Задача 2:

Существуют ли 100 таких различных натуральных чисел, что квадрат каждого из них делится на сумму всех чисел?

Задача 3:

Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что количество этих групп четно.

Задача 4:

Решите в простых числах уравнение p² + q = 5q² + p.

Задача 5:

На kn карточках с двух сторон написаны числа от 1 до n по 2k раз каждое. Докажите, что эти карточки можно положить на стол так, чтобы сверху каждое число было написано ровно k раз.

Задача 6:

В матбое участвовали три команды. Перед боем игрок Иванов перешел из первой команды во вторую, игрок Петров – из второй команды в третью, а игрок Сидоров – из третьей команды в первую. После этого средний возраст первой команды увеличился на неделю, второй – увеличился на две недели, а третьей – уменьшился на 4 недели. Известно, что в первой и второй командах по 12 игроков. Сколько игроков в третьей команде?

Задача 7:

В треугольнике ABC выполнены соотношения AB = 1, BC = 2,  ∠ ABC = 120. Докажите, что медиана BD перпендикулярна стороне AB.

Задача 8:

В языке привидений всего две буквы: Ы и У. Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа следующих операций: вычёркивание (соответственно вставка) десяти одинаковых букв, идущих подряд, замена набора стоящих рядом букв УЫ набором ЫУУ или наоборот. Докажите, что среди любого 101 слова языка привидений найдутся два, означающие одно и то же.