Задача 1:

Восемь футбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой по одному разу). Какое наименьшее число очков гарантирует команде место в четверке лидеров? В современном футболе за победу дают 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.

Задача 2:

Существуют ли 100 таких различных натуральных чисел, что квадрат каждого из них делится на сумму остальных?

Задача 3:

Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что количество этих групп четно.

Задача 4:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC (AB = BC) провели медианы AD и CE. Медиану AD продолжили на ее длину за точку D. Получилась точка X. Медиану CE продолжили на ее длину за точку C. Получилась точка Y. Докажите, что угол AXY – прямой.

Задача 5:

На kn карточках с двух сторон написаны числа от 1 до n по 2k раз каждое. Докажите, что эти карточки можно положить на стол так, чтобы сверху каждое число было написано ровно k раз.

Задача 6:

Решите в простых числах уравнение p² + q = 37q² + p.

Задача 7:

На клетчатой бумаге отметили 36 вершин клеток так, что они образовали квадрат 5 × 5. За один ход разрешается провести отрезок длины 2. Какое наименьшее число ходов надо сделать, чтобы от любой отмеченной вершины до любой другой можно было добраться по проведенным отрезкам, если переходить с одного отрезка на другой можно только в отмеченных точках?

Задача 8:

В языке привидений всего две буквы: Ы и У. Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа следующих операций: вычёркивание (соответственно вставка) десяти одинаковых букв, идущих подряд, замена набора стоящих рядом букв УЫ набором ЫУУ или наоборот. Докажите, что среди любых 200 слов языка привидений найдутся два, означающие одно и то же.