Задача 1:

Задача 2:

На планете 1000 городов, среди которых есть столицы государств. Некоторые города связаны дорогами так, что любая дорога соединяет ровно два города, и от любого города до любого другого можно добраться по дорогам. При этом, чтобы попасть из одной столицы в другую, нужно проехать не менее 21 дороги. Докажите, что на планете не больше 90 столиц.

Задача 3:

Задача 4:

Верен ли признак равенства треугольников по высоте и медиане, проведенным к одной стороне, и высоте, проведенной к другой стороне?

Задача 5:

Задача 6:

Верно ли, что существует число, кратное 1999 и имеющее сумму цифр, равную 1999?

Задача 7:

Можно ли замостить какую-нибудь бесконечную полосу клетчатой бумаги равнобедренными «уголками» из пяти клеток?

Задача 8:

При каком наибольшем k существуют k подряд идущих натуральных чисел таких, что их суммы цифр являются перестановкой k подряд идущих натуральных чисел?