Задача 1: За успехи в математике была награждена группа ребят. При этом 14 школьников были отмечены за хорошее выступление на Уральском турнире, 11 – за победу на областной олимпиаде и 13 – за отличную учебу в ЛМШ. Известно, что всего награждено было меньше 20 человек (причем могли награждать и за другие успехи). Оказалось, что три награды не получил никто. А сколько ребят получили по две награды?

(О.Нечаева)

Задача 2: В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля. Вася каждый круг проезжал на 2 секунды быстрее Пети, а Петя – на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле – два круга. Сколько кругов составляла дистанция?

(С.Корытов)

Задача 3: Число состоит из 36 цифр. Разрешается разбить его на группы из шести цифр и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что одна из перестановок в семь раз больше другой. Докажите, что эта большая перестановка делится на 49.

(А.Проскурников)

Задача 4: По кругу сидят 2000 рыцарей и лжецов. Каждый из них заявил, что его соседи – лжец и рыцарь, но два рыцаря при этом ошиблись. Сколько среди них лжецов?

(Р.Семизаров)

Задача 5: В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 взяли точку, для которой отношение расстояния до самой далекой вершины к расстоянию до самой близкой стороны минимально. Чему равно это отношение?

(С.Волченков)

Задача 6: Каждая сторона правильного треугольника поделена на 15 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. В результате этого получили разбиение треугольника на маленькие треугольнички. После этого в каждый из маленьких треугольничков записали  + 1 или  – 1. Известно, что число в каждом треугольничке равно произведению чисел в тех треугольничках, которые имеют с ним общую сторону. Докажите, что в каждом из маленьких треугольничков, прилегающих к серединам сторон большого треугольника, стоит число  + 1.

(Украинская олимпиада, 1980)