Задача 1: Можно ли расположить на плоскости 17 кругов так, чтобы центр каждого из них лежал внутри ровно одного из остальных, и внутри каждого лежал центр ровно одного из остальных?

(А.Грибалко $+$жюри)

Задача 2: На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC выбрали точку D такую, что BC = CD. На катете BC выбрали такую точку E, что DE = CE. Докажите, что AD + BE = DE.

(Ф.Бахарев)

Задача 3: У художника-копииста есть картина, представляющая из себя белый клетчатый прямоугольник, на котором некоторые клетки покрашены в черный цвет, и бесконечный белый клетчатый холст. Художник каждый полдень закрашивает две клетки холста в черный цвет, а его сын-хулиган каждую полночь перекрашивает одну из них обратно в белый цвет. Музей принимает картины ежедневно с 9.00 до 10.00. Докажите, что вне зависимости от действий сына художник может скопировать картину, вырезать ее из холста и сдать в музей.

(О.Нечаева)

Задача 4: У каждой из 4100 плиток размером 1 × 1 две стороны покрашены в черный цвет, а две стороны – в белый. Докажите, что из этих плиток можно сложить квадрат 64 × 64 так, чтобы любые две соседние по стороне плитки прилегали друг к другу сторонами разных цветов.

(Ю.Лифшиц)

Задача 5: На микрокалькуляторе ТыкДык-2000 есть кнопки « + 1", « + 16", « – 7" и « – 23", причём калькулятор взрывается, как только в него попадает число, делящееся на 8. Докажите, что из числа 1 нельзя получить ровно за 2000 операций число 2001, не взорвав калькулятор.

(Р.Семизаров)

Задача 6: Докажите, что из любого простого числа, большего 1000, можно вычеркнуть одну или две цифры так, чтобы получилось составное число.

(А.Храбров)

Задача 7: Докажите, что если ac – a – c = b² – 2b, bd – b – d = c² – 2c и b ≠ c, то ad + b + c = bc + a + d.

(Украинская олимпиада, 1984)

Задача 8: В углу доски m × n стоит ладья. Двое по очереди передвигают ее по горизонтали или по вертикали. При этом все поля, через которые ладья прошла, из доски выбрасываются и ходить по ним или через них нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?

(В.Франк)