|
Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Уральский турнир юных математиков >> XVII турнир (февраль, 2001) >> Командная олимпиада >> Старшая группа | Показать решения |
|
XVII Уральский (IX кировский) турнир юных математиков. Командная олимпиада. Старшая группа |
|
Имеются чашечные весы и четыре гири, сделанные из одинакового металла. Одна из них большая, другая поменьше, третья ещё меньше, а четвёртая – самая маленькая. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берётся любая гиря и ставится на любую чашку весов). Известный хвастун Петя Сидоров не знает точного веса гирь, но заявляет, что сможет ставить гири на весы так, что сначала три раза перевесит левая чашка, а последний раз – правая. Стоит ли ему верить?
Задача 2:В трапеции ABCD с основанием AD AB = BC, AC = CD и BC + CD = AD. Найдите углы трапеции.
Задача 3:Сколькими способами из чисел 1, 2, … , 2n можно выбрать два или больше так, чтобы никакие два выбранных числа в сумме не давали 2n + 1?
Задача 4:Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d и e выполнено неравенство
a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)
Задача 5:В треугольнике ABC BC = 2AC, а D – такая точка на стороне BC, что ∠ DAC = ∠ ABC. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M. Докажите, что AM = AB.
Задача 6:p и q – нечетные простые числа. Сумма натуральных чисел a и b равна q, а ap + bp – точный квадрат. Докажите, что p = q.
Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Уральский турнир юных математиков >> XVII турнир (февраль, 2001) >> Командная олимпиада >> Старшая группа | Показать решения |