Задача 1:

Юра составил из 32 раскрашенных доминошек квадрат 8 × 8 так, что любые две доминошки одного цвета не имеют общих точек. Докажите, что у Юры были доминошки хотя бы четырех цветов.

Задача 2:

Пусть a, b, c и d – такие числа, что ab = 1 и ac + bd = 2. Докажите, что cd ≤ 14.

Задача 3:

Имеется неограниченный запас гирь, каждая весом в целое число граммов. Требуется подобрать такой набор гирь общим весом в n граммов, что любой целочисленный вес, меньший n, можно было единственным образом уравновесить гирями из этого набора (гири одного веса считаются одинаковыми). Класть на одну и ту же чашку гири и груз не разрешается. Простейший способ – взять для этого много гирек весом в 1 грамм. Такой способ мы будем называть тривиальным. Докажите, что для n = 6 нетривиального подбора гирь не существует.

Задача 4:

D, E и F – основания перпендикуляров, опущенных из внутренней точки M на стороны остроугольного треугольника ABC. Найдите геометрическое место таких точек M, что  ∠ DEF = 90.

Задача 5:

На плоскости дано 13 точек, причем из любых пяти четыре лежат на одной окружности. Докажите, что есть окружность, на которой лежат по крайней мере шесть из них.

Задача 6:

В стране Фалкерсонии некоторые города соединены авиалиниями, причем из города A в город B нельзя попасть, сделав менее десяти пересадок. Докажите, что все авиалинии можно распродать 11 авиакомпаниям таким образом, что любой маршрут из A в B будет проходить по линиям, принадлежащим всем 11 компаниям.

Задача 7:

Сумма 100 целых чисел равна нулю. Докажите, что из них можно по крайней мере 99 способами выбрать два числа, сумма которых неотрицательна.

Задача 8:

Докажите, что при любых натуральных a и b число не является целым.