Задача 1:

В очки 15 жителей Изумрудного города вставлено по 10 зеленых, розовых и голубых стекол. Эти жители встали по кругу так, что любые два соседа не носят стекол одного цвета. Какое максимальное число жителей может носить очки с разноцветными стеклами?

Задача 2:

Найдутся ли семь таких различных натуральных чисел, что у любых двух из них – одно и то же наименьшее общее кратное?

Задача 3:

Натуральное число называется палиндромом (перевертышем), если его запись читается одинаково слева направо и справа налево (например, 1043401). Все палиндромы выписали в ряд в порядке возрастания. Найдите все простые числа, которые могут быть делителями разности двух соседних чисел этого ряда.

Задача 4:

Про положительные числа a, b, x, y известно, что ax + by = xy. Докажите, что ax + by ≥ 4ab.

Задача 5:

Около бензоколонки с неограниченным запасом бензина стоят три грузовика, каждый из которых на полной заправке может проехать 100 км. Машины могут заправляться неограниченное число раз. Разрешается также переливать бензин из одного бензобака в другой. Докажите, что одна из машин может (с помощью двух других) доехать до города, расположенного в 195 км от бензоколонки.

Задача 6:

Натуральные числа от 1 до 36 расставлены в клетках квадрата 6 × 6 так, что в каждой из шести строк слева направо и в каждом из шести столбцов сверху вниз числа возрастают. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, стоящих в «уголке», образованном верхней строкой и левым столбцом?

Задача 7:

В треугольнике ABC точки M и N – середины сторон AC и BC соответственно. На стороне AB выбраны такие точки K и L, что AK = BL, а отрезки KM и LN пересекаются и равны. Докажите, что AC = BC.

Задача 8:

У Альберта сначала было 6 гиней, у Бруно – 3 гинеи и 23 шиллинга, а у Кристофера – 46 шиллингов. После того, как каждый из мальчиков подарил каждому из остальных по одной из своих монет, у всех оказались одинаковые суммы денег. Сколько шиллингов в одной гинее?