Задача 1:

В очки 15 жителей Изумрудного города вставлено по 10 зеленых, розовых и голубых стекол. Эти жители встали по кругу так, что любые два соседа не носят стекол одного цвета. Какое максимальное число жителей может носить очки с разноцветными стеклами?

Задача 2:

Найдутся ли семь таких различных натуральных чисел, что у любых двух из них – одно и то же наименьшее общее кратное?

Задача 3:

Натуральное число называется палиндромом (перевертышем), если его запись читается одинаково слева направо и справа налево (например, 1043401). Все палиндромы выписали в ряд в порядке возрастания. Найдите все простые числа, которые могут быть делителями разности двух соседних чисел этого ряда.

Задача 4:

В треугольнике ABC проведены биссектриса BL и медианы AM и CK. Оказалось, что треугольник MKL – равносторонний. Докажите, что и треугольник ABC – равносторонний.

Задача 5:

Решите уравнение (x + y)² = (x + 1)(y – 1).

Задача 6:

Около бензоколонки с неограниченным запасом бензина стоят три грузовика, каждый из которых на полной заправке может проехать 100 км. Машины могут заправляться неограниченное число раз. Разрешается также переливать бензин из одного бензобака в другой. Докажите, что одна из машин может (с помощью двух других) доехать до города, расположенного в 235 км от бензоколонки.

Задача 7:

Натуральные числа от 1 до 50 расставлены в клетках прямоугольника 5 × 10 так, что в каждой из пяти строк слева направо и в каждом из 10 столбцов сверху вниз числа возрастают. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, стоящих в «уголке», образованном верхней строкой и левым столбцом?

Задача 8:

В треугольнике ABC на стороне AB выбраны такие точки K и L, что AK = BL. Точки M и N – середины сторон AC и BC соответственно. Оказалось, что KM = LN. Докажите, что либо AC = BC, либо .