Задача 1:

Задача 2:

На плоскости даны окружность  ω , точка A, лежащая внутри  ω , и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на  ω  и хорда XY проходит через точку A. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.

Задача 3: В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости, ). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n – 3 точки в пространстве ни взять, найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n – 3 точек.

(В.Дольников, С.Игонин)

Задача 4:

Задача 5: Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них — точные квадраты?

(Р.Садыков, Е.Черепанов)

Задача 6: В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Пусть K — точка на окружности, диаметрально противоположная точке C₁, D — точка пересечения прямых B₁C₁ и A₁K. Докажите, что CD = CB₁.

(М.Евдокимов)

Задача 7: Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии n кандидатов. На избирательном участке находится n + 1 урна. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетень и при всяком выборе (n + 1)-го бюллетеня по одному из каждой урны найдётся кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

(В.Дольников)

Задача 8: Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число. Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

(С.Берлов)