Задача 1: По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N (N ≥ 2) так, что у любых двух соседних чисел есть одинаковая цифра. Найдите наименьшее возможное значение N.

(Д.Кузнецов)

Задача 2: В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

(С.Берлов)

Задача 3: Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.

Известно, что . Докажите, что для любого натурального k выполнено неравенство

(С.Злобин)

Задача 4: Лабиринт представляет собой квадрат 8 × 8, в каждой клетке 1 × 1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки — выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90 по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход

сквозь стенку квадрата, она остаётся на месте, но стрелка по-прежнему поворачивается на 90 по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.

(М. Антонов)

Задача 5:

Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида 0,

все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида

все цвета различны.

(С.Берлов)

Задача 6:

Задача 7:

Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей. (Каждый простой делитель учитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)

(С.Токарев)

Задача 8:

В треугольнике ABC (AB > BC) K и M — середины сторон AB и AC, O — точка пересечения биссектрис. Пусть P — точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что QP ⊥ KM и QM||BO. Докажите, что QO ⊥ AC.

(М.Сонкин)