Задача 1: Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

(Р.Женодаров)

Задача 2: Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 — 7 различных корней?

(Н.Агаханов, О.Подлипский)

Задача 3: Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l.

(Н.Седракян)

Задача 4:

Задача 5: Дана последовательность x_k такая, что x₁ = 1, x_n + 1 = n sin x_n + 1. Докажите, что последовательность непериодична.

(А.Голованов)

Задача 6: Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из вершин некоторого ребра, в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из вершин скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.

(Фольклор)

Задача 7: На плоскости дано бесконечное множество точек S, при этом в любом квадрате 1 × 1 лежит конечное число точек из множества S. Докажите, что найдутся две разные точки A и B из S такие, что для любой другой точки X из S выполняется: |XA|,\;|XB| ≥ 0,999|AB|.

(Р.Карасёв)

Задача 8: Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трехзначных чисел, можно выбрать 4 попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.

(Д.Храмцов, Г.Челноков)