Задача 1: Можно ли числа 1, 2, …, 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?

(Р.Женодаров)

Задача 2: N цифр — единицы и двойки — расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении N все четырехзначные числа, запись которых не содержит цифр, отличных от 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?

(С.Волчёнков)

Задача 3: Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

(Д.Джукич)

Задача 4: Уголком размера n × m, где m,n ≥ 2, называется фигура, получаемая из прямоугольника размера n × m клеток удалением прямоугольника размера (n – 1) × (m – 1) клеток.

Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?

(Д.Храмцов)

Задача 5: Пусть a, b, c, d, e и f — некоторые числа, причем a • c • e ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f| равны при всех значениях x. Докажите, что ad = bc.

(Р.Женодаров)

Задача 6: Натуральное число n назовем хорошим, если каждое из чисел n, n + 1, n + 2 и n + 3 делится на сумму своих цифр. (Например, n = 60398 — хорошее.) Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

(В.Замков)

Задача 7: Можно ли клетки доски 5 × 5 покрасить в 4 цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее чем в 3 цвета?

(О.Подлипский)

Задача 8: Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на 3 части, из которых складывается равнобедренный треугольник.

(Л.Емельянов)