Задача 1: Точка M двигается в плоскости так, что разность расстояний от неё до двух фиксированных точек A и B — величина постоянная. Доказать, что центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, лежат на одной прямой.

Задача 2:

Задача 3: Доказать, что если для каждого числа x из промежутка [0;1] выполнено неравенство |ax² + bx + c| ≤ 1, то |a| + |b| + |c| ≤ 17. Можно ли в последнем неравенстве заменить число 17 меньшим?

Задача 4: На каждой четвёртой горизонтали бесконечной шахматной доски каждая четвёртая клетка занята пешкой, причём все пешки стоят на белых полях. Остальные клетки свободны. Может ли конь, двигаясь по некоторому бесконечному маршруту, побывать в каждой свободной клетке ровно по одному разу?

Задача 5: На плоскости даны 5 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, и проведены все 10 отрезков, соединяющих попарно эти точки. Доказать, что на отрезках можно расставить стрелки, преобразовав отрезки в векторы, так, чтобы сумма этих векторов была равна нулю.

Задача 6: Пусть p(x) — произвольный многочлен. Доказать, что многочлен q(x) = (x – 1)¹⁹⁸⁰p(x) имеет не менее 990 отрицательных коэффициентов.

Задача 7: Каждая сторона правильного треугольника поделена на 15 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. В результате этого получили разбиение треугольника на маленькие треугольнички. После этого в каждый из маленьких треугольничков записали число  + 1 или  – 1. Известно, что число в каждом треугольничке равно произведению чисел из треугольничков, имеющих с ним общую сторону. Доказать, что в каждом из маленьких треугольничков, прилегающих к серединам сторон большого треугольника, стоит число  + 1.

Задача 8: На прямой выбраны два отрезка AB и CD равной длины, не имеющие общих точек, причём точки B и C находятся между точками A и D. На отрезках AB, AC, BD и CD как на диаметрах построены окружности  γ ₁,  γ ₂,  γ ₃,  γ ₄. Пусть M и N — точки пересечения окружностей  γ ₂ и  γ ₃, а K₁, K₂, K₃, K₄ — точки касания касательных, проведенных из середины отрезка AD к окружностям  γ ₁ и  γ ₄. Докажите, что точки M, N, K₁, K₂, K₃, K₄ лежат на одной окружности.