Задача 1: Не пользуясь таблицами, доказать неравенства 1,5 <  ㏒ ₂3 < 1,6.

Задача 2: На плоскости даны правильный n-угольник и вектор . Найти сумму ортогональных проекций вектора на стороны n-угольника или их продолжения.

Задача 3: В ЭВМ заложена программа, в соответствии с которой любой набор из 10 символов переставляется в определенном порядке, одном и том же для всех наборов. Какое наименьшее число наборов из нулей и единиц нужно составить, чтобы по результатам работы с ними ЭВМ можно было бы однозначно восстановить действие программы? Что это за наборы?

Задача 4: Функция f(x), заданная на отрезке [\,0;1], для любых a,\,b ∈ [\,0;1] удовлетворяет неравенству

Известно, что f(0) = f(1) = 0.

а) Доказать, что уравнение f(x) = 0 имеет бесконечное число решений.

б) Привести пример такой функции, тождественно не равной нулю.

Задача 5: Доказать, что для произвольных значений  α ,  β ,  γ  хотя бы одно из чисел  sin  α  •  cos  β ,  sin  β  •  cos  γ ,  sin  γ  •  cos  α  не больше ½.

Задача 6: Доказать, что если 2a + 3b + 6c = 0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет хотя бы один корень на интервале (0;1).

Задача 7: Из точки O проведены лучи OA, OB, OC, образующие между собой острые углы. Прямая a лежит в плоскости OBC и перпендикулярна OA, прямая b лежит в плоскости OAC и перпендикулярна OB, прямая c лежит в плоскости OAB и перпендикулярна OC. Доказать, что прямые a, b, c лежат в одной плоскости.

Задача 8: На плоскости даны n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Двое игроков играют в такую игру: каждый по очереди соединяет какую-нибудь пару точек отрезком, причём он не должен пересекаться с проведенным ранее отрезками (но может иметь с ними общие концы). Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. В первой игре выиграл тот, кто начинал игру. Доказать, что он выиграет и в следующей игре.