Задача 1: На продолжении стороны AC треугольника ABC выбрана точка D так, что AC = CD. Пусть M — середина стороны AB, а K — точка пересечения отрезков BC и DM. Доказать, что площадь треугольника BKD равна площади четырёхугольника AMKC.

Задача 2: Обозначим через D(n) сумму всех делителей числа n (включая 1 и n). Для каких n число n • D(n) — нечётное?

Задача 3: На доске написаны числа дроби

а) Можно ли перед каждой из них поставить знак « + » или « – » так, чтобы их сумма была равна нулю? б) Если нет, то какое наименьшее количество из этих дробей надо стереть, чтобы, поставив перед оставшимися дробями знаки « + » или « – », можно было получить в сумме нуль?

Задача 4:

Задача 5: Сколько существует целых чисел p, для которых уравнение x² + px + 1985 = 0 имеет целый корень?

Задача 6: Рациональное число удовлетворяет условию . Доказать, что q ≥ 28.

Задача 7: Длина каждого звена замкнутой ломаной равна 1, а расстояние между любыми двумя её вершинами не превышает 1. Доказать, что эта ломаная имеет нечётное число звеньев.

Задача 8: В одном «не очень дружном» садово-огородном обществе (сокращённо СОО) каждые два соседних участка отгорожены друг от друга высокой стеной. Все участки квадратные и имеют одинаковую площадь, поэтому изображение СОО на плане напоминает лист бумаги в клетку. Садовод А включил на своём участке громкоговоритель. Звук слышен, если он проходит не более чем через 10 стен, но через 11 стен его уже не слышно. Доказать, что найдутся два садовода B и C, из которых B находится ближе к A, чем C, но при этом C слышит громкоговоритель, а B не слышит (считать, что громкоговоритель и садоводы находятся в центрах участков).