Задача 1: Вычислить  cos \,( π \, cos \,(2 π \, cos \,(3 π \, cos  … \,(1985 π \, cos \,(1986 π ) … ).

Задача 2:

Задача 3: Через точку O внутри выпуклого четырёхугольника ABCD проведены четыре разных окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается двух смежных сторон четырёхугольника. Доказать, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Задача 4: Дано действительное число  α  = 0, α ₁ α ₂ …  α _n … \,. Образуем такую последовательность: a₁ =  α , a₂ = 0, α ₂ α ₃ …  α _n … \,, …, a_n = 0, α _n α _n + 1 … , …(каждое следующее число получается из предыдущего вычёркиванием первой цифры после запятой). Известно, что последовательность a_n сходящаяся. Доказать, что число  α  — рациональное.

Задача 5: О числах известно, что

Доказать, что a₁a₂ + a₂a₃ +  …  + a₉a₁₀ + a₁₀a₁ ≥  – 1. Может ли здесь достигаться равенство?

Задача 6: В выпуклом 1986-угольнике проведены несколько диагоналей так, что любая из них пересекает внутри многоугольника не более одной диагонали из числа проведенных. Какое наибольшее число диагоналей можно провести?

Задача 7: Из точки M, взятой на стороне BC правильного треугольника ABC, проведены перпендикуляры MN и MK к сторонам AB и AC соответственно. Обозначим через O центр треугольника ABC, а через P — точку пересечения отрезков KN и OM. Доказать, что NP = PK.

Задача 8: Многочлен четвертой степени P(x) имеет четыре различных корня: a > b > c > d. Известно, что P(x) можно представить в виде P(x) = Q(R(x)), где Q(x) и R(x) — квадратные трёхчлены. Доказать, что a – b = c – d.