Задача 1: Доказать, что для любых x и y выполняется неравенство  cos (x + y) + 2 cos x + 2 cos y + 3 ≥ 0.

Задача 2: В пространстве дано несколько точек. Никакие 4 из них не лежат в одной плоскости. Если сфера проходит через какие-то 4 из этих точек, то все данные точки лежат в шаре, ограниченном этой сферой. Доказать, что все эти точки лежат на одной сфере.

Задача 3: Пусть P(x,y) — многочлен двух переменных (конечная сумма слагаемых вида ax^myⁿ, m ≥ 0, n ≥ 0). Известно, что для любых x и y имеем P(x + 1,y + 1) = P(x,y). Доказать, что существует многочлен одной переменной Q(z) такой, что для любых x и y выполняется равенство P(x,y) = Q(x – y).

Задача 4: Для натуральных n и k, n ≥ k обозначим через количество разбиений числа n на k натуральных слагаемых. Разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, считаем одинаковыми. Например, , так как 4 = 1 + 3 и 4 = 2 + 2. Доказать, что для n ≥ 2k

Задача 5: Доказать, что для произвольных положительных a, b и c выполнено неравенство

Задача 6: Пусть ABCD — произвольный тетраэдр, K и L — середины противоположных рёбер AD и BC. Через прямую KL проведна некоторая плоскость, пересекающаяся с прямыми AB и CD в точках M₁ и M₂. Доказать, что точки M₁ и M₂ равноудалены от прямой KL.

Задача 7: На ограниченном листе бумаги в клетку (с размером клеточек 1 × 1) двое школьников играют в такую игру: сначала первый школьник проводит отрезок A₀A₁, затем второй школьник — отрезок A₁A₂, затем первый — A₂A₃ и т.д.) Каждый из отрезков A₀A₁, A₁A₂, A₂A₃, …должен быть стороной или диагональю клетки, а ломаная A₀A₁A₂A₃ …  не может иметь самопересечения. Игра прекращается, когда нельзя сделать очередной ход. Доказать, что первый игрок может своими ходами обеспечить, чтобы игра никогда не прекратилась и чтобы расстояние между точками A₀ и A₁₉₈₈ оказалось больше 695.

Задача 8: