Задача 1: В каждой вершине куба сидела одна муха. Потом все мухи взлетели и снова сели в некотором порядке по одной в каждую вершину. Доказать, что найдутся три мухи, которые в начальном и в конечном положении были вершинами равных треугольников.

Задача 2:

Задача 3: На плоскости даны три луча с общим началом, разбивающие её на три угла суммой 360. Внутри каждого угла отметили по точке. Постройте при помощи циркуля и линейки треугольник, вершины которого лежат на данных лучах (по одной на каждом) и стороны которого проходят через отмеченные точки.

Задача 4: Таблица с n строками и 6 столбцами, n ≥ 2, заполнена нулями и единицами так, что все её строки различны и вместе с любыми строками () и () в ней содержится и строка (a₁b₁,a₂b₂, … ,a₆b₆). Доказать, что в некотором её столбце не менее половины цифр — нули.

Задача 5: На плоскости  α  выбрали произвольным образом точку A и окружность  γ . От каждой точки B окружности отложили перпендикуляр к плоскости  α , длина которого равна квадрату длины отрезка AB (все перпендикуляры отложены в одну сторону от плоскости  α ). Доказать, что концы этих перпендикуляров лежат в одной плоскости.

Задача 6: Даны 2n чисел из отрезка [1;2]. Доказать, что их можно разбить на две группы — и так, что

Задача 7: Дана деревянная доска в клетку размером n × n. Двое игроков по очереди делают пилкой распилы длины 1, идущие по линиям сетки. Каждый распил должен начинаться с узла сетки на краю доски или на уже сделанном распиле. Проигрывает тот игрок, после хода которого доска распадается на две части. Кто выиграет при правильной игре: начинающий игру или его соперник?

Задача 8: